백준 12865 - 평범한 배낭 - 냅색 알고리즘(파이썬) - 2021/04/22

문제 설명

 

이 문제는 아주 평범한 배낭에 관한 문제이다.

한 달 후면 국가의 부름을 받게 되는 준서는 여행을 가려고 한다. 세상과의 단절을 슬퍼하며 최대한 즐기기 위한 여행이기 때문에, 가지고 다닐 배낭 또한 최대한 가치 있게 싸려고 한다.

준서가 여행에 필요하다고 생각하는 N개의 물건이 있다. 각 물건은 무게 W와 가치 V를 가지는데, 해당 물건을 배낭에 넣어서 가면 준서가 V만큼 즐길 수 있다. 아직 행군을 해본 적이 없는 준서는 최대 K만큼의 무게만을 넣을 수 있는 배낭만 들고 다닐 수 있다. 준서가 최대한 즐거운 여행을 하기 위해 배낭에 넣을 수 있는 물건들의 가치의 최댓값을 알려주자.

 

첫 줄에 물품의 수 N(1 ≤ N ≤ 100)과 준서가 버틸 수 있는 무게 K(1 ≤ K ≤ 100,000)가 주어진다. 두 번째 줄부터 N개의 줄에 거쳐 각 물건의 무게 W(1 ≤ W ≤ 100,000)와 해당 물건의 가치 V(0 ≤ V ≤ 1,000)가 주어진다.

입력으로 주어지는 모든 수는 정수이다.

 

한 줄에 배낭에 넣을 수 있는 물건들의 가치합의 최댓값을 출력한다.

 

 

풀이

 

이 문제는 전형적인 냅색 알고리즘문제이다.

 

n+1,k+1 사이즈의 표를 0으로 채워놓고 각각의 경우에 비교하면서 값을 넣어준다.

 

w/v	k=1	k=2	k=3	k=4	k=5	k=6	k=7
6/13	0	0	0	0	0	0	0
4/8	0	0	0	0	0	0	0
3/6	0	0	0	0	0	0	0
5/12	0	0	0	0	0	0	0

 

이렇게 시작해서 한줄씩 아래로 채워나간다.

 

※ 여기서 한줄씩 아래로는 맨 처음 6/13일 때, 6/13밖에 없는 경우를 뜻한다. 그리고 한칸씩 오른쪽으로 채워나갈때도 k=2일때는 k=2까지만 있는 경우만 생각한다.

 

1. 맨 처음 w/v가 6/13일 때 k=1이라면 0이다. -> 무게를 1까지밖에 들지 못하는데 무게6에 가치13인 물건이므로

따라서 k=6부터 채워지게 된다. 그리고 k=7일때도 무게6에 가치13인 물건을 채우고 1만큼 공간이 남는다.

 

w/v	k=1	k=2	k=3	k=4	k=5	k=6	k=7
6/13	0	0	0	0	0	13	13
4/8	0	0	0	0	0	0	0
3/6	0	0	0	0	0	0	0
5/12	0	0	0	0	0	0	0

첫 번째 줄을 채웠을 때

 

이 방식으로 두번째 줄을 채우면 

w/v	k=1	k=2	k=3	k=4	k=5	k=6	k=7
6/13	0	0	0	0	0	13	13
4/8	0	0	0	8	8	13	13
3/6	0	0	0	0	0	0	0
5/12	0	0	0	0	0	0	0

두 번째 줄을 채웠을 때

이렇게 된다.

두 번째 경우에선 w/v가 6/13, 4/8 두 물건만 있는 경우를 의미하는데 k=4일땐 w/v=4/8인 물건을 채울 수 있고 6이상부터는 무게6에 가치13인 물건을 채우는게 더 가치가 높다.

 

w/v	k=1	k=2	k=3	k=4	k=5	k=6	k=7
6/13	0	0	0	0	0	13	13
4/8	0	0	0	8	8	13	13
3/6	0	0	6	8	8	13	14
5/12	0	0	0	0	0	0	0

세 번째 줄을 채웠을 때

 

이 경우에서도 위와같이 채우다가 k=7일때를 잘 봐야한다.

이전까지 최댓값 13을 쓰다가 k=7인 경우에는 w/v=4/8인 물건과 w/v=3/6인 물건 두 개를 모두 담을 수 있다.

이를 수식으로 표현하면 우선 이전까지의 최댓값은 위에서 그대로 가져온다.

 

이전까지의 최댓값 : graph[i-1][j]

비교해 볼 최댓값 : v[i] <-현재 물건의 가치 + graph[i-1][j-w[i]] <- 현재 무게 7에서 현재 물건의 무게3을 뺀 위치

 

즉, 현재 물건의 가치와 담을 수 있는 무게에서 현재 물건의 무게를 뺀 값의 가치를 더한 값

이다.

 

두 경우에서 최댓값은 6+8=14

 

w/v	k=1	k=2	k=3	k=4	k=5	k=6	k=7
6/13	0	0	0	0	0	13	13
4/8	0	0	0	8	8	13	13
3/6	0	0	6	8	8	13	14
5/12	0	0	6	8	12	13	14

네 번째 줄을 채웠을 때

 

결국 모든 물건을 다 비교해보고 마지막 값이 최댓값이 된다.

 

 

n,k=map(int,input().split())

graph=[[0]*(k+1) for i in range(n+1)]
w=[0]
v=[0]
for i in range(n):
    a,b=map(int,input().split())
    w.append(a)
    v.append(b)

for i in range(1,n+1):
    for j in range(1,k+1):
        if j<w[i]:
            graph[i][j]=graph[i-1][j]
        else:
            graph[i][j]=max(graph[i-1][j],v[i]+graph[i-1][j-w[i]])
            
graph[n][k]